Question

5．$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{8}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$等于（　　）

• A． $\frac{{2}^{n}-n-1}{{2}^{n}}$
• B． $\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{{2}^{n}-n+1}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{{2}^{n+1}-n+2}{{2}^{n}}$

Answer 1

分析 通过记该数列通项公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$与$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$错位相减、计算即得结论．

解答 解：依题意，记该数列通项公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列的和S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{-2-n+{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$，
故选：B．

点评 本题考查数列的前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．