Question

【题目】如图1，在中， ， ， ， 分别为， 的中点．将沿折起到的位置，使，如图2，连结， ．

（Ⅰ）求证：平面 平面；

（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为， 分别为， 中点，所以// ．因为，所以．所以．因为，所以．又因为 = ，所以 平面，由此可以证明平面 平面；

（Ⅱ）因为， ， ，所以， ， 两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，得出平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则,即得解.

（Ⅲ）假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．设， ，得出， ， .易得平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量，则有，即，解得的值，即得解.

试题解析：

（Ⅰ）证：因为， 分别为， 中点，所以// ．

因为，所以．所以．

因为，所以．

又因为 = ，所以 平面．

又因为平面，所以平面 平面．

（Ⅱ）解： 因为， ， ，所以， ， 两两互相垂直．

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有， ， ， ， ， ．

则， ， ， ， ， ．

设平面的一个法向量，

则有即令得， ．所以．

设直线与平面所成角为，则．

故直线与平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．

设， ，则，即 ．

所以， ， .

易得平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量，

则有 即令，则．

若二面角的余弦值为，

则有，即img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/09/23/10/f3ee7bee/SYS201809231026007410293450_DA/SYS201809231026007410293450_DA.133.png" width="156" height="69" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

解得， ， ．又因为，所以．

故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．