【题目】四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD∥BC,AC⊥DB,∠CAD=60°,AD=2,PD=1.
(1)证明:AC⊥BP;
(2)求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值.
【答案】
(1)
证明:∵PD⊥底面ABCD,AC平面ABCD;
∴AC⊥PD;
又AC⊥BD,BD∩PD=D;
∴AC⊥平面PBD,BP平面PBD;
∴AC⊥BP;
(2)
解:设AC∩BD=O,以O为坐标原点,OD,OA为x,y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz,则:
O(0,0,0),D( ,0,0),A(0,1,0),P(
,0,1);
∴ ,
,
;
设平面ACP的法向量 ,平面ADP的法向量
;
由 得,
,取x1=1,则
;
同理,由 得,
;
∴ ;
∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为 .
【解析】(1)根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD,而由条件AC⊥BD,这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD,进而便可证出AC⊥BP;(2)可设AC与BD交于点O,这样由条件便可分别以OD,OA为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,从而可以求出点O,D,A,P四点的坐标,进而得出向量 的坐标,可设平面ACP的法向量
,平面ADP的法向量
,这样根据
便可得出法向量
的坐标,同理便可得出法向量
的坐标,从而便可求出
的值,即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题.
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【题目】如图,三棱柱中,侧面
底面
,
,
,且
,点
,
,
分别为
,
,
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)求证:平面
.
(Ⅲ)写出四棱锥的体积.(只写出结论,不需要说明理由)
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【题目】已知函数
(1)若且函数
的值域为
,求
的表达式;
(2)在(1)的条件下, 当时,
是单调函数, 求实数k的取值范围;
(3)设,
且
为偶函数, 判断
+
能否大于零?请说明理由.
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【题目】设集合P={(x,y)||x|+|y|≤1,x∈R,y∈R},Q={(x,y)|x2+y2≤1,x∈R,y∈R},R={(x,y)|x4+y2≤1,x∈R,y∈R}则下列判断正确的是( )
A.PQR
B.PRQ
C.QPR
D.RPQ
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【题目】已知函数的最小正周期是
,且当
时,
取得最大值3.
(1)求的解析式及单调增区间;
(2)若,且
,求
;
(3)将函数的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,且
是偶函数,求m的最小值.
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【题目】如图所示,已知直线与双曲线
交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求的值及B点坐标;
(2)结合图形,直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.
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【题目】(1)问题发现
如下图,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE。
填空:①∠AEB的度数为____________;
②线段AD、BE之间的数量关系是_________。
(2)拓展探究
如下图,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由。
(3)解决问题
如下图,在正方形ABCD中,CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离。
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【题目】如图1,在中,
,
,
,
分别为
,
的中点.将
沿
折起到
的位置,使
,如图2,连结
,
.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若为
中点,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在一点
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)甲班和乙班同学身高的中位数各是多少?并计算甲班样本的方差.
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.
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