【题目】如图,在四棱锥PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【解析】
(Ⅰ)由已知AD∥BC,从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角,由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值.
(Ⅱ)由AD⊥平面PDC,得AD⊥PD,由BC∥AD,得PD⊥BC,再由PD⊥PB,得到PD⊥平面PBC.
(Ⅲ)过点D作AB的平行线交BC于点F,连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角,由PD⊥平面PBC,得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角,由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP=,
故cos∠DAP==
.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明:由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.
(3)解:过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,所以PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,所以BC⊥DC.
在Rt△DCF中,可得DF=2,
在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
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【题目】设有关于x 的一元二次方程
(1)若是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,
是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率;
(2)若是从区间
中任取的一个实数,
是从区间
中任取的一个实数,求上述方程有实数根的概率.
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【题目】如图,三棱柱中,侧面
底面
,
,
,且
,点
,
,
分别为
,
,
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)求证:平面
.
(Ⅲ)写出四棱锥的体积.(只写出结论,不需要说明理由)
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【题目】设,
分别为双曲线
的左、右焦点,
为双曲线的左顶点,以
,
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
,
两点,且满足
,则该双曲线的离心率为________.
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【题目】在△ABC中,设内角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量 =(cosA+
,sinA),向量
=(﹣sinA,cosA),若|
+
|=2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=4 ,且c=
a,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数
(1)若且函数
的值域为
,求
的表达式;
(2)在(1)的条件下, 当时,
是单调函数, 求实数k的取值范围;
(3)设,
且
为偶函数, 判断
+
能否大于零?请说明理由.
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【题目】设集合P={(x,y)||x|+|y|≤1,x∈R,y∈R},Q={(x,y)|x2+y2≤1,x∈R,y∈R},R={(x,y)|x4+y2≤1,x∈R,y∈R}则下列判断正确的是( )
A.PQR
B.PRQ
C.QPR
D.RPQ
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【题目】如图1,在中,
,
,
,
分别为
,
的中点.将
沿
折起到
的位置,使
,如图2,连结
,
.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若为
中点,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在一点
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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