Question

19．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若直线AM与平面CBF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AB⊥BC，从在则BC⊥平面ABEF，进而AF⊥BC，再由余弦定理和勾股定理得到AF⊥BF，由此能证明AF⊥平面CBF．
（Ⅱ）以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，过F作平面AFEB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，其中四边形ABCD为矩形
∴AB⊥BC，
∵平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥BC，
∵四边形ABEF为等腰梯形，AB∥EF，点O为AB的中点，M为CD的中点，AB=2，AF=EF=1，
∴∠BEF=120°，
∴BF=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
∴AF²+BF²=AF²，∴AF⊥BF，
∵BF∩BC=B，∴AF⊥平面CBF．
解：（Ⅱ）以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，过F作平面AFEB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=t，由已知得A（1，0，0），D（1，0，t），C（0，$\sqrt{3}$，t），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），B（0，$\sqrt{3}$，0），F（0，0，0），
$\overrightarrow{FB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，t），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，t），
平面FBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵直线AM与平面CBF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
解得t=2或t=-2．（舍）
∴BC的长为2．

点评 本题考查向量垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．