Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，$2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$，∠ABC=60°，PA=3，AB=2．
（1）若直线CE与平面BDF没有公共点，求λ；
（2）求平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，求三棱锥E-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结GE，GC，连结AC交BD于O，则GC∥FO，从而GC∥平面BDF，再求出CE∥平面BDF，从而平面BDF∥平面GEC，由此能求出λ．
（2）由题意得FO⊥BD，PO⊥BD，平面BDE与平面BDF所夹角即二面角F-BD-P，其平面角即为∠POF，由此能求出平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值．
（3）三棱锥E-BDF的体积${V_{E-BDF}}={V_{B-EDF}}=\frac{1}{3}{V_{B-ADP}}=\frac{1}{3}{V_{P-ADB}}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）如图，G为PF中点，连结GE，GC，连结AC交BD于O，
则GC∥FO，
∵GC?平面BDF，FO?平面BDF，∴GC∥平面BDF，
∵CE与平面BDF没有交点，∴CE∥平面BDF，
∵GC∩CE=C，
∴平面BDF∥平面GEC．
则GE∥FD，故λ=1．
（2）由ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
由题意得FO⊥BD，PO⊥BD，
而平面BDE与平面BDF所夹角即二面角F-BD-P，
由二面角定义，其平面角即为∠POF，
$cos∠POF=\frac{2+10-4}{{2×\sqrt{2}×\sqrt{10}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）三棱锥E-BDF的体积：
${V_{E-BDF}}={V_{B-EDF}}=\frac{1}{3}{V_{B-ADP}}=\frac{1}{3}{V_{P-ADB}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面平行，面面平行的求法应用，考查二面角、柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．