Question

【题目】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

(1)求a和b的值；

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

Answer 1

【答案】（1）a＝0，b＝－3.

（2）－2.

【解析】(1)由题设得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

所以，

解之得a＝0，b＝－3.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.

因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，

所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，

于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.

当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，

g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．

当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，

故1不是g(x)的极值点．

所以g(x)的极值点为－2.