Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²+b²+4$\sqrt{2}$=c²，ab=4，则$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可求C的值，可得B=$\frac{π}{4}$-A，利用三角函数恒等变换的应用，基本不等式可求tan²Acos2A=3-（2cos²A+$\frac{1}{co{s}^{2}A}$）≤3-2$\sqrt{2}$，即可得解．

解答 解：∵a²+b²+4$\sqrt{2}$=c²，ab=4，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-4\sqrt{2}}{2×4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{3π}{4}$，B=$\frac{π}{4}$-A，
∵tan²Acos2A=3-（2cos²A+$\frac{1}{co{s}^{2}A}$）≤3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{ta{n}^{2}A•cos2A}$≥$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{3-2\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，则$\frac{sinC}{ta{n}^{2}A•sin2B}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2，当且仅当2cos²A=$\frac{1}{co{s}^{2}A}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．