对于集合A={a1.a2.-an}(n≥2.n∈N*).如果a1•a2-•an=a1+a2+-+an.则称集合A具有性质P.给出下列结论:①集合{-1+52.-1-52}具有性质P,②若a1.a2∈R.且{a1.a2}具有性质P.则a1a2＞4③若a1.a2∈N*.则{a1.a2}不可能具有性质P,④当n=3时.若ai∈N*.则具有性质P的集合A有且只有一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

对于集合A={a₁，a₂，…a_n}（n≥2，n∈N^*），如果a₁•a₂…•a_n=a₁+a₂+…+a_n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：
①集合{

-1+

，

-1-

}具有性质P；
②若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}具有性质P，则a₁a₂＞4
③若a₁，a₂∈N^*，则{a₁，a₂}不可能具有性质P；
④当n=3时，若a_i∈N^*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．
其中正确的结论是

．

考点：集合的表示法,进行简单的合情推理

专题：

分析：根据已知中性质P的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．

解答： 解：∵

-1+

•

-1-

-1+

-1-

=-1，故①是正确的；
②不妨设a₁+a₂=a₁a₂=t，
则由韦达定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，当n=2时，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．
当n=3时，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是具有性质P的集合A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义的含义是解答的关键，难度较大．

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