Question

已知函数f（x）=

ax2+bx

x3

，其中a，b不全为0
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）若f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（2）根据函数是偶函数求出，a，b的取值，结合函数的单调性进行求解．

解答： 解：（1）f（-x）=

ax2-bx

-x3

，
若f（-x）=-f（x），
则

ax2-bx

-x3

=-

ax2+bx

x3

，
即ax²-bx=ax²+bx，
即-bx=bx，
即b=0，此时函数为奇函数，
若f（-x）=f（x），
则

ax2-bx

-x3

=

ax2+bx

x3

，
即-ax²+bx=ax²+bx，
即-ax²=ax²，
即a=0，此时函数为偶函数，
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
即a=0，b≠0，函数为偶函数，
若b=0，a≠0，则函数奇函数．
若a≠0，b≠0，则函数为非奇非偶函数．
（2）若f（x）为偶函数，由（1）知，a=0，b≠0，
则f（x）=

ax2+bx

x3

=

b

x2

，
若在（0，+∞）上递增，
则b＜0．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义和性质是解决本题的关键．