Question

如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（ III）求三棱锥F-ADB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BE的中点G，利用GF为三角形BCE的中位线，证明四边形GFAD为平行四边形，从而证明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）先证AF⊥平面BCE，由AF∥GD可得GD⊥平面BCE，进而证明平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅲ）由AB²+AC²=BC²，得AF=

1

2

BC=

2

2

，由AD⊥平面ABC，四边形GFAD为平行四边形，得四边形GFAD为矩形，由AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，得BF⊥平面GFAD，由V_F-ADB=

1

2

V_B-ADGF，利用等积法能求出三棱锥F-ADB的体积．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED，
∵GF为△BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF=

1

2

CE=DA，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，
又CE⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴AF⊥EC，
又BC∩EC=C，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，
又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）解：∵AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F为BC的中点，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AF=

1

2

BC=

2

2

，
∵AD⊥平面ABC，四边形GFAD为平行四边形，
∴四边形GFAD为矩形，
∴S_矩形GFAD=AF×AD=

2

2

×1=

2

2

，
∵AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，∴BF⊥平面GFAD，
连结DF，三棱锥F-ADB的体积：
V_F-ADB=

1

2

V_B-ADGF=

1

6

×S矩形GFAD×BF=

1

6

×

2

2

×

2

2

=

1

12

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．