Question

在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos²α+cos²β=1．
类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=

 

．

Answer 1

考点：类比推理,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．

解答： 解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，
则有cos²α+cos²β=1，
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图
对角线AC₁与过A点的三个面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分别为α，β，γ，
∴cosα=

AC

AC1

，cosβ=

AB1

AC1

，cosγ=

AD1

AC1

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=

AC2+AB1 2+AD1 2

AC1 2

，
令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos²α+cos²β+cos²γ=

AC2+AB1 2+AD1 2

AC1 2

=

a2+b2+a2+c2+b2+c2

a2+b2+c2

=2
故答案为：cos²α+cos²β+cos²γ=2．

点评：本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．