Question

设数列{a_n}的前n项的和S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．
（1）求首项a₁与通项a_n；
（2）设T_n=

2n

Sn

，n=N^*，证明：T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．当n≥2时，S_n-1=

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

，a_n=S_n-S_n-1，化为an+2n=4(an-1+2n-1)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得S_n=

4

3

（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

4×4n-6×2n+2

3

．可得T_n=

2n

Sn

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．利用“裂项求和”即可证明．

解答： （1）解：∵S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

，n∈N^*．
∴当n=1时，a₁=S₁=

4

3

a1-

4

3

+

2

3

，解得a₁=2．
当n≥2时，S_n-1=

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，
化为an=4an-1+2n，
变形为an+2n=4(an-1+2n-1)，
∴数列{an+2n}是等比数列，首项为a₁+2=4，公比为4．
∴an=4n-2n．
因此：a₁=2，an=4n-2n．
（2）证明：由（1）可得S_n=

4

3

（4ⁿ-2ⁿ）-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

=

4×4n-6×2n+2

3

．
T_n=

2n

Sn

=

3×2n

4×4n-6×2n+2

=

3×2n

(2n+1-1)(2n+1-2)

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

2

．
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＜

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的定义及通项公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．