Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和为2

2

．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设椭圆C₂：x²+

3y2

2

=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C₂于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C₁于点N．
（i）求证：|MN|的最小值为

2

；
（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C₁的轨迹是椭圆，设C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知条件知2a=2

2

，c=1，由此能求出曲线C1 的方程．
（Ⅱ）（ⅰ）当k=0，M为C₂长轴端点，N为C₁短轴的端点，|MN|=

2

设直线OM：y=kx，代入x²+

3y2

2

=1，得（2+3k 2 ）x²=2，由此能求出|MN|的最小值．
（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．设Rt△MON斜边上的高为h，当k=0时，h=

2

2

，当k≠0时，|OM|•|ON|=

2+2k2 2+3k2

•

2+2k2 2+k2

，由此能推导出存在以原点为圆心，半径为

2

且与直线MN相切的圆，并能求出圆的方程．

解答： 满分（13分）．
（Ⅰ）解：由椭圆定义可知曲线C₁的轨迹是椭圆，
设C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
所以2a=2

2

，c=1，则b=1，
故C1 的方程

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（ⅰ） 证明：当k=0，M为C₂长轴端点，
则N为C₁短轴的端点，|MN|=

2

．…（4分）
当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x²+

3y2

2

=1，
整理得（2+3k 2 ）x²=2，即x²=

2

2+3k2

，y²=

2k2

2+3k2

，
所以|OM|²=x²+y²=

2+2k2

2+3k2

．…（6分）
又由已知OM⊥ON，设ON：y=-

1

k

x，同理解得|ON|²=

2+2k2

2+k2

，…（7分）
所以|MN|²=|OM|²+|ON|²=

2+2k2

2+3k2

+

2+2k2

2+k2

=（2+2k²）•

4+4k2

(2+3k2)•(2+k2)

，…（8分）
又|MN|²-2=

8(1+k2)2-2(2+3k2)•(2+k2)

(2+3k2)•(2+k2)

=

2k4

(2+3k2)•(2+k2)

＞0，
所以|MN|的最小值为

2

．…（9分）
（ⅱ）解：存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆．
设Rt△MON斜边上的高为h，由（Ⅱ）（ⅰ）得当k=0时，h=

2

2

，…（10分）
当k≠0时，|OM|•|ON|=

2+2k2 2+3k2

•

2+2k2 2+k2

，
又|MN|=

(2+2k2)• 4+4k2 (2+3k2)•(2+k2)

，…（12分）
由|MN|•h=|OM|•|ON|，得h=

|OM|•|ON|

|MN|

=

2

2

，
故存在以原点为圆心，半径为

2

且与直线MN相切的圆，
圆方程为x2+y2=

1

2

．…（13分）

点评：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．