Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx，x∈R，ω＞0．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为

π

2

，则当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，然后，根据正弦函数的性质进行确定该函数的值域即可；
（2）根据周期公式，确定ω=2，然后，求解函数的单调递减区间．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
∵x∈R，∴f（x）的值域为[-1，1]，
（2）∵f（x）的最小正周期为

π

2

，
∴

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2
∴f(x)=2sin(4x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]，
∵f（x）递减，
∴4x+

π

6

∈[

π

2

，

3π

2

]，
由

π

2

≤4x+

π

6

≤

3π

2

，
得到

π

12

≤x≤

π

3

，
∴f（x）单调递减区间为[

π

12

，

π

3

]．

点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于综合性问题，中档题．