Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若点M为边BC的中点，AM=2

3

，求a+c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）记∠BAM=θ，其中0＜θ＜

2π

3

，在三角形ABM中，利用正弦定理列出关系式，表示出a与c，代入a+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2sinBcosC=2sinA-sinC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，即sinC（2cosB-1）=0，
∵0＜B＜π，sinC＞0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）记∠BAM=θ，其中0＜θ＜

2π

3

，
在△ABM中，AB=c，sin∠BAM=sinθ，BM=

1

2

BC=

1

2

a，sin∠AMB=sin∠AMC=sin（θ+

π

3

），AM=2

3

，
∴由正弦定理得：

c

sin(θ+ π 3 )

=

AM

sin π 3

=

1 2 a

sinθ

=4，
∴c=4sin（θ+

π

3

），a=8sinθ，
∴a+c=8sinθ+4sin（θ+

π

3

）=8sinθ+2sinθ+2

3

cosθ=10sinθ+2

3

cosθ=4

7

sin（θ+α），其中cosα=

5 7

14

，sinα=

21

14

，
θ+α可以取到

π

2

，
∴a+c=4

7

sin（θ+α）≤4

7

，
则a+c的最大值为4

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．