Question

14．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}\right.$＞=$\frac{π}{6}$，|${\overrightarrow a}$|=1，|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$，则|${\overrightarrow b}$|=$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意把|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$两边平方，转化为关于$|\overrightarrow{b}|$的一元二次方程求解．

解答 解：由＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}\right.$＞=$\frac{π}{6}$，|${\overrightarrow a}$|=1，且|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|=$\sqrt{13}$，
得$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=13$，即$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\frac{π}{6}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=13$，
∴4-4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=13，
即$|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\sqrt{3}|\overrightarrow{b}|-9=0$，解得|$\overrightarrow{b}$|=-$\sqrt{3}$（舍），或|$\overrightarrow{b}$|=$3\sqrt{3}$．
故答案为：$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查一元二次方程的解法，是中档题．