Question

已知函数f（x）=x²+aln（x+1）
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的定义域，a=-4时求得f'（x），然后在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的增区间、减区间；
（2）设g（x）=f（x）-x=x²-x+aln（x+1）（x＞-1），等价于“对于任意x∈[1，2]，不等式g（x）≤0恒成立”．求函数g（x）的导数g'（x），根据g（x）在[1，2]单调递增、单调递减、在区间[1，2]存在极值三种情况进行讨论可得g（x）的最大值，令其小于等于0可得a的范围；

解答： 解：（1）由已知，f（x）的定义域为（-1，+∞）．
当a=-4时，f（x）=x²-4ln（x+1），∴f′(x)=2x-

4

x+1

=

2(x-1)(x+2)

x+1

．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）设g（x）=f（x）-x=x²-x+aln（x+1）（x＞-1），则“对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）≤x恒成立”等价于“对于任意x∈[1，2]，不等式g（x）≤0恒成立”．
而g′(x)=2x-1+

a

x+1

=

2x2+x+a-1

x+1

，
设h（x）=2x²+x+a-1．则h（x）在[1，2]上单调递增，
∵x∈[1，2]，∴a+2≤h（x）≤a+9．
①当a≥-2时，h（x）≥0，g'（x）≥0，即g（x）在[1，2]上单调递增，
要使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（2）=2+aln3≤0，∴a≤-

2

ln3

．
又a≥-2，∴-2≤a≤-

2

ln3

．
②当a≤-9时，h（x）≤0，g'（x）≤0，即g（x）在[1，2]上单调递减，
要使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=g（1）=aln2≤0，∴a≤0．
又a≤-9，∴a≤-9．
③当-9＜a＜-2时，由h（x）=0，得x0=

9-8a -1

4

∈（1，2）．
当1≤x＜x₀时，h（x）＜0，∴g'（x）＜0；
当x₀＜x≤2时，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，x₀）上单调递减，在（x₀，2]上单调递增，要
使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}≤0．
又g（1）=aln2，g（2）=2+aln3，且-9＜a＜-2，0＜ln2＜1，1＜ln3，
∴g（1）=aln2＜0，g（2）=2+aln3＜2-2ln3＜0，即g（x）_max=max{g（1），g（2）}＜0，
∴-9＜a＜-2时符合条件．
综上所述，满足条件的a的取值范围是(-∞，-

2

ln3

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．