Question

如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（1）求证：；

（2）若时，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，连结OC，由于为等腰三角形，O为AB的中点，所以，利用面面垂直的性质，得平面ABEF，利用线面垂直的性质得，由线面垂直的判定得平面OEC，所以，所以线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，利用向量法，先建立空间直角坐标系，求出平面FCE和平面CEB的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，但是需要判断二面角是锐角还是钝角．

试题解析：（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．

又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF， 2分

于是．又，所以平面OEC，所以， 4分

又因，故平面，所以． 6分

（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，

在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则从而设平面的法向量，由，得， 9分

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为 13分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法．