Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2C-2cos2

A+B

2

+1=0，
（1）求角C的大小；
（2）若b²=3a²+c²，求tanB的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由条件 cos2C-2cos2

A+B

2

+1=0，求得cosC 的值，可得C的值．
（2）由b²=3a²+c²，利用余弦定理求得c²=a²+b²-ab，从而求得b=4a，可得c=

13

a．再由正弦定理可得
sinB的值，可得cosB的值，再根据tanB=

sinB

cosB

求得结果．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵cos2C-2cos2

A+B

2

+1=0，
∴2cos²C-1-cos（A+B）=0，即2cos²C-1+cosC=0，
解得cosC=-1（舍去），或cosC=

1

2

，∴C=60°．
（2）若b²=3a²+c²，∵c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab，
∴b²-3a²=a²+b²-ab，∴b=4a，∴c=

13

a．
△ABC中，由正弦定理可得

c

sinC

=

b

sinB

，即 

13 a

sin60°

=

4a

sinB

，解得 sinB=

2 39

13

．
由于b为最大边，故B为最大角，故 cosB=±

13

13

，∴tanB=

sinB

cosB

=±2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．