Question

已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

，消去t得：y=x+4

2

．
由ρ=2cos(θ+

π

4

)，得ρ=2cosθcos

π

4

-2sinθsin

π

4

，即ρ=

2

cosθ-

2

sinθ，
∴ρ2=

2

ρcosθ-

2

ρsinθ，即x2-

2

x+y2+

2

y=0．
化为标准方程得：(x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1．
圆心坐标为(

2

2

，-

2

2

)，半径为1，圆心到直线x-y+4

2

=0的距离d=

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设

x= 2 2 +cosθ y=- 2 2 +sinθ

，
则x+y=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，
∴x+y的取值范围是[-

2

，

2

]．

点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．