Question

设正项等比数列{a_n}，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首项a₁和公比q的值；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]，问是否存在正数k，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求k的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的性质，由a₃a₄a₅=2⁹求得到a₄的值，然后利用a₄比上a₂求出q的值，再由a₄的值和q的值即可求出首项a₁的值；
（2）把等比数列的通项公式代入b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]，利用对数的运算性质化简，由b_n+1-b_n为常数求得k的值．

解答： 解：（1）∵a₃a₄a₅=(a4)3=2⁹，得a₄=2³=8（a₄＞0），
∴

a4

a2

=q2=4，q=2．
又由a₄=a₁q³，即8=a₁•2³，解得a₁=1；
（2）证明：由（1）知，a_n=2^n-1．
b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…lga_n-1+lg（ka_n）]
=

1

n

[lg(ka1a2…an)]=

1

n

[lg(k•20+1+2+…+(n-1))]=

1

n

[lgk+lg2

n(n-1)

2

]=

lgk

n

+

n-1

2

lg2，
若数列{b_n}为等差数列，则bn+1-bn=

lgk

n+1

+

n

2

lg2-

lgk

n

-

n-1

2

lg2
=lgk(

1

n+1

-

1

n

)+

1

2

lg2=-

1

n(n+1)

lgk+

1

2

lg2为常数．
则lgk=0，k=1．
∴存在正数k=1，使数列{b_n}为等差数列．

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了对数性质的应用，是中档题．