Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁中点．求证：（1）EF∥平面C₁BD；
（2）A₁C⊥平面C₁BD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AD₁，由已知可证四边形ABC₁D₁为平行四边形，即有A₁D∥BC₁，可证得EF∥BC₁，又EF?平面C₁BD，BC₁?平面C₁BD，从而可证EF∥平面AB₁D₁．
（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA₁⊥平面ABCD，又AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，可证BD⊥平面AA₁C，有A₁C⊥BD．同理可证A₁C⊥BC₁，又BD∩BC₁=B，即可证明A₁C⊥平面C₁BD．

解答： 证明：（1）连接AD₁，
∵E，F分别是AD和DD₁的中点，
∴EF∥AD₁
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥D₁C₁，AB=D₁C₁，
∴四边形ABC₁D₁为平行四边形，即有A₁D∥BC₁
∴EF∥BC₁．
又EF?平面C₁BD，BC₁?平面C₁BD，
∴EF∥平面AB₁D₁．
（2）连接AC，则AC⊥BD．
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C，
∴A₁C⊥BD．
同理可证A₁C⊥BC₁，
又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面C₁BD．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．