Question

“

.

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

.

=0”是“（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）三点共线”的（　　）

• A、充分非必要条件
• B、必要非充分条件
• C、充要条件
• D、既非充分又非必要条件

Answer 1

考点：三阶矩阵,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：空间位置关系与距离,矩阵和变换

分析：将

.

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

.

=0展开即得到“（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）三点共线”的等价式．

解答： 解：∵

.

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

.

=0
∴

.

x2 y2 x3 y3

.

-

.

x1 y1 x3 y3

.

+

.

x1 y1 x2 y2

.

=x₂y₃-x₃y₂+x₃y₁-x₁y₃+x₁y₂-x₂y₁=0
又（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）三点共线，
即（y₃-y₁）（x_2-x₁）=（y₂-y₁）（x₃-x₁）
整理，得x₂y₃-x₃y₂+x₃y₁-x₁y₃+x₁y₂-x₂y₁=0．
所以“

.

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

.

=0”是“（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）三点共线”的充分必要条件．
故本题选：C．

点评：本题考查三阶矩阵的计算以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．