Question

在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形．AA₁=1，AC=

2

，AB=2，设D，E分别是线段BC，CC₁的中点．
（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）设点M为线段AB的中点，证明：直线DE∥平面A₁MC；
（3）在（1）条件下，求点D到平面A₁B₁E₁的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）取AB的中点M，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，证明四边形MDEO为平行四边形即可．
（3）由（1）可证A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，由题意可得

1

3

VD-A1B1E=

1

3

S△B1DE•A1C1，又可求A₁E，B₁E，从而求得S△A1B1E，S△B1DE，由体积公式即可求得
点D到平面A₁B₁E的距离．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）因为四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．…（1分）
因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
所以AA₁⊥平面ABC．因为直线BC?平面ABC内，所以AA₁⊥BC．…（3分）
又由已知，AC⊥BC，AA₁，AC为平面ACC₁A₁内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面ACC₁A₁．…（5分）
（2）因为点M为线段AB的中点，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，连接OM，
设O为A₁C，AC₁的交点．由已知，O为AC₁的中点．…（6分）
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC₁的中位线．
所以，MD∥AC，OE∥AC且MD=

1

2

AC，OE=

1

2

AC，…（7分）
所以MD∥OE且MD=OE                                               …（8分）
从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO．
因为直线DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，所以直线DE∥平面A₁MC   …（9分）
（3）由（1）BC⊥平面ACC₁A₁，所以BC⊥A₁C₁，
又CC₁⊥A₁C₁，CC₁∩BC=C所以A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，…（10分）
由题意VD-A1B1E=VA1-B1DE，所以

1

3

VD-A1B1E=

1

3

S△B1DE•A1C1，…（11分）
A₁E=B₁E=

( 2 )2+( 1 2 )2

=

3

2

，所以S△A1B1E=

1

2

×2×

5

2

=

5

2

，…（12分）
S△B1DE=SBCC1B1-S△B1C1E-S△EB1D-S_△DCE=

2

-

2

4

-

2

4

-

2

8

=

3 2

8

，…（13分）
所以

1

3

•

5

2

•h=

1

3

•

3 2

8

•

2

，
所以h=

3 5

10

，点D到平面A₁B₁E的距离为

3 5

10

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题．