Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得BF⊥AE，从而平面ABCD⊥平面ABE，由BC⊥AB，得BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．
（2）取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，由已知得∠FBG为BF与平面ABCD所成的角，由此能求出BF与平面ABCD所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E为直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．

（2）解：取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，
∴OE⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FBG为BF与平面ABCD所成的角，
由（1）知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=

2

，EO=1，
在直角三角形BCE中，CE=

BC2+BE2

=

6

，
BF=

BC•BE

CE

=

2 2

6

=

2

3

，FC=

2 6

3

，
∴FG=

2

3

OE=

2

3

，
在直角三角形BGF中，sin∠FBG=

FG

BF

=

2 3

2 3

=

3

3

，
∴BF与平面ABCD所成的角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．