Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=na_n-（n²-n）
（1）求{a_n}通项公式．
（2）若数列{a_n}满足b_n+1-b_n=2a_n+3，且b₁=3，{

1

bn

}的前n项和T_n，试证明T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后可得{a_n}为以a₁=2为首项，以2为公差的等差数列，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n+1-b_n=2a_n+3=4n+3，由叠加法得到数列{b_n}的通项公式，进一步得到

1

bn

=

1

n(2n+1)

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
验证n=1，n=2，n=3满足T_n＜

3

4

；当n≥4时放缩后利用裂项相消法求和后得答案．

解答： 解：（1）由Sn=nan-(n2-n)，得
Sn-1=(n-1)an-1-[(n-1)2-(n-1)]（n≥2），
两式相减得：a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}为以a₁=2为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n+1-b_n=2a_n+3=4n+3，
叠加b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=3+7+11+…（4n-1）=

n[3+(4n-1)]

2

=n(2n+1)（n≥2）．
经检验b₁=3也符合，∴b_n=n（2n+1）
∴

1

bn

=

1

n(2n+1)

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
当n=1时，Tn=

1

3

＜

3

4

；
当n=2时，Tn=

1

3

+

1

2×5

=

1

3

+

1

10

=

13

30

＜

3

4

；
当n=3时，Tn=

1

3

+

1

10

+

1

21

=

101

210

＜

3

4

；
当n≥4时，Tn=

1

3

+

1

2×5

+

1

3×7

+…

1

n(2n+1)

＜

1

3

+

1

10

+

1

21

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+1

=

307

420

-

1

n+1

＜

3

4

．
综上所述 Tn＜

3

4

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中高档题．