Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，A₁D∩AC₁=M，BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）试问在线段AB是否存在一点N，使得MN∥平面BB₁C₁C，若存在，指出N点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求点C₁到平面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）存在，N点为AB一个靠近A点的三等分点，即AN=

1

3

AB，连结BC₁，证明MN∥BC₁即可；
（Ⅱ）利用VC1-A1AB=VC-A1AB=VA1-CAB，即可求出点C₁到平面A₁ABB₁的距离．

解答： 解：（Ⅰ）存在，N点为AB一个靠近A点的三等分点，即AN=

1

3

AB．
证明如下：连结BC₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴

AM

MC1

=

AD

A1C1

=

1

2

=

AN

NB

∴MN∥BC₁，
又MN?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C．

（Ⅱ）由题意，A₁D⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴A₁D⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩AD=D₁，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
又AC₁?平面AA₁C₁C，
∴AC₁⊥BC，
又AC₁⊥BA₁，BA₁∩BC=B，
∴AC₁⊥平面A₁CB
又A₁C?平面A₁CB，A₁C⊥AC₁，
∴平行四边形A₁C₁CA为菱形．
又A₁D⊥AC，D为AC的中点，
∴A₁A=A₁C=AC=BC=a
∵BC⊥平面AA₁C₁C，
∴∠BCA₁=∠BCA=90°，
∴A₁B=AB=

2

a
取AA₁中点H，则BH=

7

2

a．
∴S△AA1B=

7

4

a2，
设点C₁到平面A₁ABB₁的距离为h，
∵C₁C∥平面A₁ABB₁，
∴VC1-A1AB=VC-A1AB=VA1-CAB=

1

3

×

1

2

a2×

3

2

a=

1

3

×

7

4

a2h，
解得h=

21

7

a．
故C₁到平面A₁ABB₁的距离为

21

7

a．

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键．