Question

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则：
（1）A点到CD₁的距离为

 

；
（2）A点到BDD₁B₁的距离为

 

；
（3）A点到面A₁BD的距离为

 

；
（4）AA₁与面BB₁D₁D的距离为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲求A点到CD₁的距离，连接DC₁，即在直角三角形AOD中，求出AO的长即得；
（2）欲求A点到面BDD₁B₁的距离，连接AC交BD于O，则AO即为A点到面BDD₁B₁的距离，求出AO的长即得；
（3）欲求A点到面A₁BD的距离，根据三棱锥A-₁BD的体积公式可求得．
（4）AA₁与面BB₁D₁D的距离可以转化为A点到面BDD₁B₁的距离．

解答： 解：（1）连接DC₁，交CD₁于O，连AO，则AO即为A点到CD₁的距离，
在直角三角形AOD中，AO=

DO2+AD2

=

6

2

，
（2）连接AC交BD于O′，则AO′即为A点到面BDD₁B₁的距离，且长度为

2

2

；
（3）设A点到面A₁BD的距离为d，根据三棱锥的体积公式得：V=

1

3

Sd
其中V=

1

3

×

1

2

×1³=

1

6

，S=

3

4

•(

2

)2=

3

2

∴d=

3

3

．
（4）AA₁与面BB₁D₁D的距离即为A点到面BDD₁B₁的距离，即

2

2

．
故答案为：

6

2

；

2

2

；

3

3

；

2

2

．

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算以及空间想象能力，属于中档题．