Question

已知函数f（x）=

3-|x-3|(x≤6) 1 2 f(x-6)(x＞6)

，则函数g（x）=xf（x）-9的零点个数是（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：函数g（x）=xf（x）-9的零点个数
即y=f（x）-

9

x

的零点个数
可转化为：f（x）与h（x）=

9

x

的交点个数，
画出图象，结合图象，利用导数判断即可．

解答： 解：∵函数f（x）=

3-|x-3|(x≤6) 1 2 f(x-6)(x＞6)

，
∴函数g（x）=xf（x）-9的零点个数
即y=f（x）-

9

x

的零点个数
可转化为：f（x）与h（x）=

9

x

的交点个数，
∵h′（x）=-

9

x2

，h′（3）=-1，点（3，3）的切线为：y=6-x，
∴再点（3，3）附近没有其他的交点，
∴从图中可以判断出：f（x）与h（x）=

9

x

的交点个数为6，
故选：A

点评：本题考查了分段函数，复杂函数的零点问题，利用函数图象判断即可，属于难题，关键是画图，必要时可以运用导数判断．