Question

对?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立，则S=

 

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Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由1³+2³+…+n³=

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n2(n+1)2，把对?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立转化为

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(n-1)2n2＜n4S＜

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n2(n+1)2恒成立，两边同时除以4n²后可得满足不等式恒成立的S的值．

解答： 解：首先证明1³+2³+…+n³=

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n2(n+1)2．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，等式左边=1³=1，右边=

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×12×(1+1)2=1，左边=右边，等式成立；
②假设当n=k时结论成立，即13+23+…+k3=

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k2(k+1)2，
那么，当n=k+1时，1³+2³+…+k³+（k+1）³=

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k2(k+1)2+(k+1)3=

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(k+1)2(k2+4k+4)=

1

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(k+1)2(k+2)2．
即n=k+1时等式成立．
综①②所述，等式13+23+…+k3=

1

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k2(k+1)2对于任意的n∈N^*都成立．
则对?n∈N^*，1³+2³+…+（n-1）³＜n⁴•S＜1³+2³+…+n³恒成立，可转化为

1

4

(n-1)2n2＜n4S＜

1

4

n2(n+1)2恒成立．
即

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(

n-1

n

)2＜S＜

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(

n+1

n

)2，∴S=

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故答案为：

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点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于运用等式1³+2³+…+n³=

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n2(n+1)2把原不等式转化，是中档题．