Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且|D₁E|=λ|EO|．
（1）求证：DB₁⊥平面CD₁O；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得D₁D⊥AC，又AC⊥BD，从而AC⊥平面D₁DBB₁，进而AC⊥B₁D，同理可证D₁C⊥B₁D，由此能证明B₁D⊥平面CD₁O，．
（2）由已知得AC⊥DE，要使平面CDE⊥平面CD₁O，只需DE⊥平面CD₁O，即需DE⊥D₁O，设D₁D=2，则DO=

2

，由此能求出

D1E

EO

=2，由|D₁E|=λ|EO|，得λ=2．

解答： 解：（1）证明：∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面D₁DBB₁，∴AC⊥B₁D，
同理可证D₁C⊥B₁D，∴B₁D⊥平面CD₁O．
（2）解：∵O为AC的中点，∴在△D₁AC中，D₁O⊥AC，
又∵D₁D⊥AC，∴AC⊥平面D₁OD，∴AC⊥DE，
要使平面CDE⊥平面CD₁O，只需DE⊥平面CD₁O，
即需DE⊥D₁O，（∵PE⊥AC，∴DE⊥平面CD₁O），
设D₁D=2，则DO=

2

，∴在Rt△D₁DO中，OD₁=

6

，
∴DE=

2 2

6

=

2 3

3

，
∴D1E=

4-( 2 3 3 )2

=

2 6

3

，
∴EO=

6

3

，∴

D1E

EO

=2，∵|D₁E|=λ|EO|，∴λ=2．

点评：本题考查线面垂直的证明，考查使得面面垂直的实数值的求法，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．