Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

1

2

BC=2，∠ABC=90°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求二面角P-CD-B的余弦值；
（2）求B到平面PDC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：

分析：（1）过P作PH⊥AB，垂足为H，则PH⊥ABCD，过H作HE⊥DC交DC于E，交AD于F，证明∠PEH为二面角P-CD-B的平面角，即可求出二面角P-CD-B的余弦值；
（2）利用等体积，求B到平面PDC的距离．

解答： 解：（1）过P作PH⊥AB，垂足为H，则PH⊥ABCD，过H作HE⊥DC交DC于E，交AD于F，
则∠PEH为二面角P-CD-B的平面角．
∵△EDF为等腰直角三角形，AB=2⇒AH=1
∵∠BCD=45°⇒∠ADE=45°⇒∠EFD=∠AFH=45°
∴AH=AF=1，EF=DE=

2

2

∴HE=

2

+

2

2

=

3 2

2

，PH=

3

∴tan∠PEH=

3

3 2 2

=

6

3

∴cos∠PEH=

15

5

…（6分）
（2）∵DC=2

2

，PE2=(

3

)2+(

3 2

2

)2=

15

2

，PE=

30

2

，
∴VB-PDC=

1

3

S△PDC•h=

1

3

S△PDC•PH⇒h=

4 5

5

…（12分）

点评：本题考查二面角P-CD-B的余弦值，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．