Question

如图，已知抛物线C：y²=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．设直线PQ过点T（5，-2），则以PQ为底边的等腰三角形APQ个数为 （　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调性求出m的取值个数即可得到结论．

解答： 解：以PQ为底边的等腰三角形APQ，直线PQ的方程为直线PQ的方程为x-5=m（y+2），即x=my+2m+5．
设点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程代入抛物线方程，消x得y²-4my-8m-20=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-20．
∴PQ的中点坐标为（2m²+2m+5，2m）．
由已知得

2m-2

2m2+2m+5-1

=-m，即m³+m²+3m-1=0．
设g（m）=m³+m²+3m-1，则g′（m）=3m²+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函数．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．
∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m³+m²+3m-1=0在R上有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
故选：A．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．注意直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．考查分析问题解决问题的能力．