Question

三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意确定当底面是边长为4的正三角形，三条侧棱长为4，a，a此时a取最大值；当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为4，a有最小值，利用三角形的三边关系列出不等式，分别求出a的取值范围，再并在一起．

解答： 解：由题意得，三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a，
有以下两种情况：如图，
①底面是边长为4的正三角形，三条侧棱长为4，a，a，此时a可以取最大值，
取BC的中点为D，连接AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC
所以AD=2

3

，PD=

a2-4

，
则

a2-4

＜4+2

3

，两边平方得a2＜32+16

3

，
解得2＜a＜2

6

+2

2

，
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为4，如图所示，
此时a＜2

42-( a 2 )2

，解得0＜a＜4

2

，
综上可得，a的取值范围是(0，2

6

+2

2

)，
故答案为：(0，2

6

+2

2

)．

点评：本题考查的是空间想像能力，三角形的三边关系的应用，以及分类讨论思想、数形结合思想，正确画出几何体是解题的关键．