Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（1）求函数f（x）的极值
（2）设g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值；
（2）由题意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，又x∈（0，1），得到

1+x

1-x

lnx＜0．然后分a＜0和a＞0讨论当a＞0时，构造函数h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，问题转化为h_max（x）＜0．然后根据a的范围利用导数分析其最大值是否小于0得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=

1+lnx

x

，得f′(x)=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

(x＞0)，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=

1+ln1

1

=1；
（2）由题意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，
∵x∈（0，1），∴

1+x

1-x

lnx＜0．
当a＜0时，g（x）＞0，不合题意；
当a＞0时，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0恒成立．
设h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，则h_max（x）＜0．
求导得：h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
设t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=（2-4a）²-4=16a（a-1）．
①当0＜a≤1时，△≤0，此时t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）内单调递增，
又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此时0＜a≤1符合条件；
②当a＞1时，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，于是对任意x∈（x₀，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，
则h（x）在（x₀，1）内单调递减，又h（1）=0，∴当x∈（x₀，1）时，h（x）＞0，不合要求．
综①②可得0＜a≤1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求解函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是对a＞1时的分析，要求考生有敏锐的洞察力．