Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，F为右焦点，A为长轴的左端点，P点为该椭圆上的动点，则能够使

PA

•

PF

=0的P点的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆a，b，c，可得F，A的坐标，由向量垂直的条件可得P在以AF为直径的圆上，求出圆的方程，联立椭圆方程，消去y，解关于x的方程，即可得到交点个数．

解答： 解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1，
即有F（1，0），A（-2，0），

PA

•

PF

=0即为PA⊥PF，
即有P在以AF为直径的圆上，
则圆的方程为（x+

1

2

）²+y²=

9

4

，①
又P在椭圆上，则有

x2

4

+

y2

3

=1，②
由①②消去y，得x²+4x+4=0，
解得x₁=x₂=-2，代入可得y=0，
则只有一个交点（-2，0）．
故选D．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查圆的方程的求法，联立椭圆方程和圆的方程，消去未知数，解二次方程是解题的关键．