Question

已知两定点A（-1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．

解答： 解：由题意知c=1，离心率e=

c

a

，
椭圆C以A，B为焦点且经过点P，
则c=1，
∵P在直线l：y=x+2上移动，
∴2a=|PA|+|PB|．
过A作直线y=x+2的对称点C，
设C（m，n），则由

n m+1 =-1 1 2 n= 1 2 (m-1)+2

，
解得

m=-2 n=1

，即有C（-2，1），
则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=

10

，
此时a有最小值

10

2

，
对应的离心率e有最大值

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：本题主要考查椭圆的定义和椭圆的离心率的求法，掌握直线的对称问题是解题的关键，属于中档题．