Question

如图，在多面体ABCDE中，四边形ACDE是矩形，且平面ACDE⊥平面ABC，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AE=AB=2，F、G分别是棱BE、AC的中点，
（Ⅰ）证明：直线AF∥平面BGD；
（Ⅱ）求二面角C-BD-G的正切值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取ED的中点M，连接AM，FM，
则FM∥BD，AM∥GD，∴FM∥面BGD，AM∥面BGD，
∴面AFM∥面BGD，∴AF∥面BGD．
（Ⅱ）由题设面ACDE⊥面ABC，BG⊥AC，∴BG⊥面ACDE
又∵BG?面BGD，∴面BGD⊥面ACDE，由题设，面BCD⊥面ABC，
作GN⊥BC于N，则GN⊥面BCD，作NH⊥BD于H，连接GH，
由三垂线定理可知BD⊥GH，
∴∠GHN就是二面角C-BD-G的平面角，在R_t△BCD中，
可得，在R_t△BGC中，可得GN=1，故．
分析：（Ⅰ）取ED的中点M，则FM∥BD，AM∥GD，可得面AFM∥面BGD，从而证得AF∥面BGD．
（Ⅱ）作GN⊥BC于N，则GN⊥面BCD，作NH⊥BD于H，则∠GHN就是二面角C-BD-G的平面角，求出NH和GN，在R_t△BGC中，
由 求得∠GHN 的大小．
点评：本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点．