【题目】设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,试判断零点的个数;
(Ⅲ)当时,若对,都有()成立,求的最大值.
【答案】(1)当时,的单减区间为;当时,的单减区间为,单增区间为;(2)两个;(3)0.
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(2)当时,由(1)可知,在是单减函数,在是单增函数,由,,利用零点存在定理可得结果;(3)当,为整数,且当时,恒成立,,利用导数求出的取值范围,从而可得结果.
(1),
.
当时,在恒成立,
在是单减函数.
当时,令,解之得.
从而,当变化时,,随的变化情况如下表:
|
|
|
|
| - | 0 | + |
| 单调递减 | 单调递增 |
由上表中可知,在是单减函数,在是单增函数.
综上,当时,的单减区间为;
当时,的单减区间为,单增区间为.
(2)当时,由(1)可知,在是单减函数,在是单增函数;
又,,.
,;
故在有两个零点.
(3)当,为整数,且当时,恒成立
.
令,只需;
又,
由(2)知,在有且仅有一个实数根,
在上单减,在上单增;
又,,
,且,
即代入式,得
.
而在为增函数,,
即.
而,,
即所求的最大值为0.
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【题目】某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在).
(1)求居民收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在的这段应抽取多少人?
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【题目】某城市通过抽样调查的方法获得了100户居民某月用水量(单位:t)的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100户居民该月用水量的平均值;
(Ⅱ)从该月用水量在和两个区间的用户中,用分层抽样的方法邀请5户的户主共5人参加水价调整方案听证会,现从这5人中随机选取2人在会上进行陈述发言,求选取的2人均来自用水量低于2.5t的用户的概率.
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【题目】设f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R,ab≠0),若f(x)对一切x∈R恒成立,给出以下结论:
①;
②;
③f(x)的单调递增区间是;
④函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交,其中正确结论为_____
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【题目】如图,在四校锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,边长为4的正△PAD所在平面与平面ABCD垂直,点E是AD的中点,点Q是侧棱PC的中点.
(1)求四棱锥P﹣ABCD的体积;
(2)求证:PA∥平面BDQ;
(3)在线段AB上是否存在点F,使直线PF与平面PAD所成的角为30°?若存在,求出AF的长,若不存在,请说明理由?
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【题目】从全校参加数学竞赛的学生的试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布,将样本分成组,绘成频率分布直方图,图中从左到右各小组的长方形的高之比为,最右边一组的频数是.
(1)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该小组的频数、频率;
(2)估计这次竞赛中,成绩高于分的学生占总人数的百分百.
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【题目】如图,已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直,其中,,,,为的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设为线段上一点,,若直线与平面所成角的正弦值为,求的长.
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【题目】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,如图为该问题的程序框图,若输出的值为0,则开始输入的值为( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值;
(Ⅲ)设点在线段上,且二面角的余弦值为,求点到底面的距离.
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