【题目】如图,已知菱形与直角梯形
所在的平面互相垂直,其中
,
,
,
,
为
的中点
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设为线段
上一点,
,若直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的长.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
试题
(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,考虑到是
中点,因此取
中点
,可得
与
平行且相等,从而可证得
,所以可证得线面平行;
(Ⅱ)求二面角,可建立空间直角坐标系,用向量法求解,考虑到平面与平面
垂直,
是菱形,因此取
中点
,则有
,因此
,所以可作
,以
为
轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角可得二面角;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的坐标系,利用已知得
点坐标,从而可得向量
的坐标,利用向量
与平面
的法向量夹角的正弦值可求得
,最后可得
的长度.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连接
,则
∥
∥
,且
,所以四边形
为平行四边形
所以∥
,又
平面
,
平面
,
则∥平面
.
(Ⅱ)取 中点
,连接
,则
因为平面
平面
,交线为
,则
平面
作∥
,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图,
则
于是 ,设平面
的法向量
,
则 令
,则
平面的法向量
所以
又因为二面角为锐角,所以其余弦值为
.
(Ⅲ)则
,
,而平面
的法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,
于是
于是,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 | 获得奖金(单位:元) |
4个白球或4个黑球 | 200 |
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
2个黑球2个白球 | 10 |
记为抽奖一次获得的奖金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第次抽奖方法是:从编号为
的袋中(装有大小、形状相同的
个白球和
个黑球)摸出
个球,若该次摸出的
个球颜色都相同,则可获得奖金
元;记第
次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证:;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(Ⅰ)求的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量(单位:百千克)与肥料费用
(单位:百元)满足如下关系:
,且投入的肥料费用不超过5百元.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)
百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为
(单位:百元).
(1)求利润函数的函数关系式,并写出定义域;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?
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