Question

【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．

【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．

（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．

详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

P（X=k）=（k=0，1，2，3）．

所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P

随机变量X的数学期望．

（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

则A=B∪C，且B与C互斥，

由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，

故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= ．

所以，事件A发生的概率为．