Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

(1)先由题意设椭圆的方程，再结合条件列出方程，从而可求出椭圆的方程；

(2)先设直线的方程，由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出，以及，化简之后作商,即可证明结论.

解法一：

（1）设椭圆的标准方程为，

由抛物线的焦点为，得，①

又，②

由①②及，解得，

所以椭圆的标准化为.

（2）依题意设直线的方程为，

设点，，

当时，联立方程得，

，

所以，，

的中点坐标为，

的垂直平分线为，

令，得，，

又，

所以，

当时，点与原点重合，则，，所以；

综上所述，为定值.

解法二：

（1）同解法一.

（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

设点，，

联立方程得，

所以，

，，

，

，

所以的中点坐标为，

的垂直平分线为，

令，得，所以，

所以；

当直线的斜率为0时，点与原点重合，则，，

所以；

综上所述，为定值.