【题目】(本小题13分)已知函数f(x)＝
－
(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在[
，2]上的值域是[
，2]，求a的值．
【答案】(1)证明：见解析；(2) a＝
.
【解析】本事主要是考查了函数的单调性和函数值域的求解的综合运用。
（1）先分析函数的定义域内任意两个变量，代入函数解析式中作差，然后变形定号，下结论。
（2）∵f(x)在[
，2]上的值域是[
，2]，那么可知又f(x)在[
，2]上单调递增，可知最大值和最小值在端点值取得求解得到参数a的值。
解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝(
－
)－( 
－
)＝
－
＝
>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．………………6分
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上单调递增，∴f(
)＝
，f(2)＝2，
易得a＝. ………………13分
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【题目】已知向量
， 
，设函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）已知
分别为三角形
的内角对应的三边长， 
为锐角， 
， 
，且
恰是函数
在
上的最大值，求
和三角形
的面积.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
： 
，以平面直角坐标系
的原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
： 
.
（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
，求
的参数方程；
（2）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.
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【题目】如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若
，CE∶EB=1∶4，求CE的长．
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【题目】设集合A＝{x|(x－3)(x＋a)<0，a∈R}，集合B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}．
(1)若A∩B的子集个数为4，求a的范围；
(2)若a∈Z，当A∩B≠
时，求a的最小值，并求当a取最小值时A∪B.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆
的长半轴长为半径的圆与直线
相切．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）已知点
，
为动直线
与椭圆
的两个交点，问：在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，试求出点
的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率
利润
保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；
（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加
元，对应的销量为
（万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据：
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表，知
与
有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为
．
（ⅰ）求参数
的值；
（ⅱ）若把回归方程
当作
与
的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入
每份保单的保费
销量．
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【题目】定义在
上的函数
满足：
对任意
、
恒成立，当
时，
.
（1）求证
在
上是单调递增函数；
（2）已知
，解关于
的不等式
；
（3）若
，且不等式
对任意
恒成立.求实数
的取值范围.
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