Question

【题目】以原点为圆心，半径为的圆 与直线相切.

（1）直线过点且截圆所得弦长为求直线 的方程；

（2）设圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条斜率分别为 的直线交圆于两点，且 ，证明：直线恒过一个定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）或 ；（2）.

【解析】

分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点.

详解：

(1)∵圆与直线 相切，

∴圆心到直线的距离为，

∴圆的方程为：

若直线的斜率不存在，直线为 ，

此时直线截圆所得弦长为 ，符合题意；

若直线的斜率存在，设直线为 ，

由题意知，圆心到直线的距离为 ，解得：，

此时直线为，

则所求的直线为或

（2）由题意知， ，设直线，

与圆方程联立得： ，

消去得： ，

∴∴，

用换掉得到B点坐标

∴，

∴直线AB的方程为

整理得：

则直线AB恒过定点为.