Question

18．已知函数f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）相切，求l的直线方程．

Answer 1

分析 （1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（2）设切点为（x₀，y₀），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论．

解答 解：（1）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，得f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1-$\frac{a}{{e}^{\;}}$=0，解得a=e．
（2）当a=1时，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
设切点为（x₀，y₀），
∵f（x₀）=x₀-1+$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$，①
f′（x₀）=1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$，
则切线方程为y-（x₀-1+$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$）=（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$）（x-x₀），
即y=（1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$）x+$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$（1+x₀）-1，
∵y=kx-1与曲线y=f（x）相切，
∴k=1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$且$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$（1+x₀）-1=-1，
即k=1-$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$且$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}$（1+x₀）=0
解得x₀=-1，则k=$1-\frac{1}{{e}^{-1}}$=1-e，
即l的直线方程为y=（1-e）x-1．

点评 本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用．