Question

6．抛物线x²=2py的焦点F到准线的距离为2，互相垂直的直线l₁，l₂都过焦点F．若l₁与抛物线交于A，B两点，l₂与抛物线交于C，D两点且l₁的斜率大于0，A，C在第一象限．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：直线AC，BD的交点在准线上；
（3）求直线AC，BD的交点横坐标范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出p，代入抛物线方程得答案；
（2）由题意设A（x₁，y₁）（x₁＞0），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．结合抛物线的性质把点的坐标用x₁，x₃表示，写出两直线方程联立后求出交点坐标得答案；
（3）由两直线垂直可得$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FC}=0$，整理得到x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{3}}{4}$+1=0，设x₁x₃=t（t＞0），把x₁+x₃用t表示，代入交点横坐标后，利用基本不等式求出x²≥0，从而可得直线AC，BD的交点横坐标范围．

解答 （1）解：由抛物线x²=2py的焦点F到准线的距离为2，得p=2，
∴抛物线方程为：x²=4y；
（2）证明：由题意设A（x₁，y₁）（x₁＞0），B（x₂，y₂），
C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则${y}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{2}=\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}，{y}_{3}=\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}，{y}_{4}=\frac{{{x}_{4}}^{2}}{4}$，
且x₁x₂=-4，x₃x₄=-4，y₁y₂=1，y₃y₄=1．
∴A（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（$-\frac{4}{{x}_{1}}，\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}$），C（${x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$），D（$-\frac{4}{{x}_{3}}，\frac{4}{{{x}_{3}}^{2}}$）．
${k}_{AC}=\frac{\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{3}-{x}_{1}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{4}$，${k}_{BD}=\frac{\frac{4}{{{x}_{3}}^{2}}-\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}}{\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{3}}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{{x}_{1}{x}_{3}}$．
∴AC所在直线方程为$y-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{4}（x-{x}_{1}）$，
BD所在直线方程为$y-\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{{x}_{1}{x}_{3}}（x+\frac{4}{{x}_{1}}）$，
两式联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}{x}_{3}-4}{{x}_{1}+{x}_{3}}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴直线AC，BD的交点在准线上；
（3）解：由题意可知：$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FC}=0$，即$（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1）•（{x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-1）=0$，
∴${x}_{1}{x}_{3}+（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1）（\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-1）=0$，
即x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}}{4}$+1=0，
则x₁x₃+$\frac{{（x}_{1}{x}_{3}）^{2}}{16}$-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{3}}{4}$+1=0，
设x₁x₃=t（t＞0），
则$t+\frac{{t}^{2}}{16}-\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}-2t}{4}+1=0$，
即$（{x}_{1}+{x}_{3}）^{2}=\frac{{t}^{2}+24t+16}{4}$．
∴${x}^{2}=\frac{（t-4）^{2}}{\frac{{t}^{2}+24t+16}{4}}=\frac{4（{t}^{2}-8t+16）}{{t}^{2}+24t+16}$=$4-\frac{128}{t+\frac{16}{t}+24}$≥0．
上式当且仅当t=4时“=”成立．
∴x∈（-∞，+∞）．
即直线AC，BD的交点横坐标范围是（-∞，+∞）．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力和计算能力．训练了利用基本不等式求最值．难度较大．