Question

3．已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）若f（x）≥a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≥a对x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）≥a对x∈[-2，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用△=a²-4（3-a）≤0，即可求实数a的取值范围；
（2）（3）将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式f（x）≥0恒成立，则只需求出函数在区间上的最小值大于等于0即可．

解答 解：设函数h（x）=x²+ax+3-a，
（1）∵f（x）≥a对x∈R恒成立，
∴△=a²-4（3-a）≤0，
∴-2≤a≤6；
（2）在x∈[-1，1]时的最小值为g（a），
则①当对称轴x=-$\frac{a}{2}$＜-1，即a＞2时，g（a）=h（-1）=4-2a≥0，得a≤2，又a＞2，此时不成立．
②当-$\frac{a}{2}$∈[-1，1]时，即-2≤a≤2时，g（a）=3-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，得-6≤a≤2，故此时-2≤a≤2．
③当-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2时，g（a）=h（1）=4≥0，成立，此时a＜-2．
 综上：a≤2．
（3）在x∈[-2，1]时的最小值为F（a），
则①当对称轴x=-$\frac{a}{2}$＜-2，即a＞4时，F（a）=h（-2）=7-3a≥0，得a≤$\frac{7}{3}$，又a＞4，此时不成立．
②当-$\frac{a}{2}$∈[-2，1]时，即-2≤a≤4时，F（a）=3-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，得-6≤a≤2，故此时-2≤a≤2．
③当-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2时，F（a）=h（1）=4≥0，成立，此时a＜-2．
 综上：a≤2．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．