【题目】如图(1),在平行四边形中, , 分别为的中点.现把平行四边形沿折起,如图(2)所示,连结.
(1)求证: ;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据线面垂直的性质定理,证明平面,即可证明结论;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出二面角的余弦值.
试题解析:(1)由已知可得,四边形, 均为边长为的菱形,且.在图 (1)中,取中点, 连结,故是等边三角形,所以,同理可得, , 又因为,所以平面, 又因为平面, 所以.
(2)由已知得, , 所以, 故.如图(2),分别以
为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系,得,设平面的法向量, 由, 得, 令, 得, 所以平面的法向量为, 设平面的法向量
, 由, 得, 令,得, 所以平面的法向量为, 于是,因为二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
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【题目】口袋中装有4个形状大小完全相同的小球,小球的编号分别为1,2,3,4,甲、乙依次有放回地随机抽取1个小球,取到小球的编号分别为.在一次抽取中,若有两人抽取的编号相同,则称这两人为“好朋友”,则甲、乙两人成为“好朋友”的概率为__________.
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【题目】某人种植一种经济作物,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455,已知当年产量低于350时,单位售价为20元/,若当年产量不低于350而低于550时,单位售价为15元/,当年产量不低于550时,单位售价为10元/.
(1)求图中的值;
(2)试估计年销售额大于5000元小于6000元的概率?
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【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图. 为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)求在这10个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数;
(2)若在这10个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为26.7,求a>b的概率;
(3)若a=1,记乙型号电视机销售量的方差为,根据茎叶图推断b为何值时,达到最值.
(只需写出结论)
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【题目】以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的四条边与共有个交点,且这个交点恰好把圆周六等分.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与相切,且椭圆相交于两点,求的最大值.
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【题目】食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病,为了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的60人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
(1)请将列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人,其中女性抽几人?
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合计 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合计 | 36 |
(2)为了研究三高疾病是否与性别有关,请计算出统计量,并说明你有多大把握认为患三高疾病与性别有关.
下列的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:)
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1⊥底面ABC,AC⊥BC,四边形BB1C1C为正方形,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥平面AB1C.
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