Question

13．（1）已知a＞b＞0，c＞d＞0．求证：$\frac{ac}{a+c}$＞$\frac{bd}{b+d}$；
（2）已知c＞a＞b＞0，求证：$\frac{a}{c-a}$＞$\frac{b}{c-b}$．

Answer 1

分析 （1）运用分析法证明，即证ac（b+d）＞bd（a+c），即为ab（c-d）+（cd（a-b）＞0，由条件运用不等式的性质即可得证；
（2）运用分析法证明，由条件即证a（c-b）＞b（c-a），展开运用不等式的可乘性，即可得证．

解答 证明：（1）要证$\frac{ac}{a+c}$＞$\frac{bd}{b+d}$，
由a＞b＞0，c＞d＞0，即证ac（b+d）＞bd（a+c），
即有abc+acd＞abd+bcd，
即为ab（c-d）+（cd（a-b）＞0，
由c＞d＞0，即c-d＞0，a＞b＞0，即a-b＞0，
上式显然成立．
故原不等式成立；
（2）要证$\frac{a}{c-a}$＞$\frac{b}{c-b}$，
由c＞a＞b＞0，即c-a＞0，c-b＞0，
即证a（c-b）＞b（c-a），
即为ac-ab＞bc-ab，即ac＞bc，
由c＞a＞b＞0，显然成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查化简整理的运算能力，属于基础题．